根据等腰梯形的性质如图在等腰梯形abcd中，得到AB=DC，∠A=∠ADC，而∠B=60°，AD=AB，AE=BF，得到∠A=∠ADC=120°，AF=DE，AD=DC，证得△ADF≌△DCE，从而得到∠ADF=∠DCE，得到∠ADF=∠DCE，而∠DCE+∠DEC=60°，得到∠ADF+∠DEC=60°，利用三角形的内角和从而就求得了∠DPE的度数．

解：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠ADC，
又∵∠B=60°，
∴∠A=∠ADC=120°，
而AD=AB，AE=BF，
∴AF=DE，AD=DC，
∴△ADF≌△DCE，
∴∠ADF=∠DCE，
而∠DCE+∠DEC=60°，
∴∠ADF+∠DEC=60°，
∴∠DPE=120°．
故答案为120°．

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如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，点P是AD上一动点，点Q是线段AB上一动点且AP=AQ

解答：

解：（1）过C作CE∥AD交AB于E，CF⊥AB于F，
∵DC∥AB，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD=2，AD=CE=BC，∠A=∠CEB=60°，
∴△CEB是等边三角形，
∴BE=CE=2，
∴AB=4，BF=EF=1，
由勾股定理得：CF=



3 ，

S梯形＝
1
2 (2+4)×



3 ＝3



3 ．

（2）如图（2）：


由题知，AP=AQ=x，∠A=60°，△APQ为等边三角形，
则PQ=x，
∵∠NPQ=90°，∠APQ=60°，
∴∠DPN=30°，
又∠D=120°，
∴∠DNP=30°，
则DP=DN=2-x，
作DE⊥PN于点E，
在Rt△DPE中，DP=2-x，∠DPE=30°，
则PE＝DPcos30°＝(2?x)×




3
2 ，
∵DP=DN，DE⊥PN，
则PN=?



3 x+2



3 ，
y＝PQ×PN＝x(?



3 x+2



3 )＝?



3 x2+2



3 x，
∴y与x的函数关系式是y=-



3 x2+2



3 x．

（3）由题意得，PQ=PN，
∴x＝?



3 x+2



3 ，
x＝
2



3




3 +1 ＝3?



3 ，
∴当x=3-



3 时，矩形PQMN是正方形．

（4）y＝?



3 (x?1)2+



3 ，
当x=1时，y最大＝



3 ，
∠AQP=60°，
∠PQN=60°，
∠NQB=60°，
∴P′在AB上，
又QP=QP′=1，
∴AP′=2，
MP′=P′Q=1，BP′=2，


过M作MH⊥AB于H，连接QN，
∵MN=2，MQ=